自分のミスを前提に
明らかに自分のミスで相手に迷惑をかけたという場合は、直接会いに行って謝る・詫びるのがもっともいいことです。普段はメールでのやり取りが当たり前であっても、迷惑をかけた相手にお詫びする際なら、メールは感心できません。先方へ出向いていくべきです。
ちょっと大袈裟なのでは、というレベルの場合は、電話にしましょう。それでもメールよりはずっといいと思います。普段どおりの連絡方法だと謝罪の気持ちがしっかり伝わりにくいものです。電話もしくは出向いていく場合でも、できるだけ早急に対応することがポイントです。
トラブルは時間が経過するほど事態も悪くなってしまうので、とにかく早めに行動するようにしましょう。「あまり多くを語らない」というのも重要なポイントです。わかりやすく言えば、あまり言い訳じみたことは言わないということです。
迷惑をかけられた相手側は、「なぜそうなった？」と大体は言うものです。相手側の「なぜ？」は当然ながら怒りの混ざった状態から出てくる言葉です。従って、多くを語ってもあまり意味はないのです。まずは謝罪の言葉を言えばいいのです。トラブルを起こした理由については、焦らずに、後で言えばいいのです。まずはしっかりお詫びをすることが第一なのです。
もちろん許してもらいたいので謝罪するわけですが、許されるか、許されないか、結果がどうであれ、誠意をもってお詫びするしかありません。